今回の記事ではたたみ込み(合成積)について解説していきます。
たたみ込みとは
たたみ込み(合成積)は以下のように定義されます。
たたみ込みを利用することで、複雑な式の逆ラプラス変換をするときに容易に計算できることがあります。
たたみ込みの3つの性質
たたみ込みの性質
(1)(交換法則)
(2)(分配法則)
(3)(結合法則)
それぞれの証明
(1)(交換法則)
まず合成積の定義より
ここで
この式は積分定数が
(2)(分配法則)
積分の線形性により容易に証明できます。
(3)(結合法則)
まず
したがって
ここで先ほどの交換法則を使うことで
たたみ込みのラプラス変換
たたみ込みのラプラス変換はシンプルな形となってます。この性質は逆ラプラス変換の時に大活躍するので覚えておきましょう。
これの証明も下に示しておきます。この証明は難しいのでさらっと見るくらいで大丈夫です。
まず合成積の定義より
したがってラプラス変換の定義の式より
ここで積分順序の交換を行います。
ここで
練習問題
練習問題にチャレンジしてみましょう。
(1)
まずは
したがって
ちなみに問題文に「
と計算するほうが楽です。
(2)
この問題も積分計算で計算しやすくするために交換法則を利用して
途中の計算には部分積分を使いました。
(3)
積分の計算過程がわからなかった人は以下の記事の(9)の問題に似たような問題があるので参照してください。
(4)
(指数関数)
よって
したがって
積分の計算過程がわからなかった人は以下の記事の(10)の問題に似たような問題があるので参照してください。
まとめ
たたみ込みは逆ラプラス変換の時に多用する重要事項です。何回も演習して完璧にしておきましょう。
