今回の記事では、テイラーの定理とマクローリンの定理について解説していきます。
テイラーの定理とは
テイラーの定理とは、平均値の定理を拡張したものであり、テイラー展開やマクローリン展開のときに使う定理です。ある数fを異なる2点に注目することで、多項式で表して近似します。テイラーの定理は以下の通りです。
関数f(x)がn階微分可能とすると、異なる2点a,bに対して
$$f(b)=f(a)+ \frac{f'(a)}{1!} (b-a)+ \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!} (b-a)^2 $$
$$+ \cdots + \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} (b-a)^{n-1} +R_{n} \quad (1) $$
このとき
$$R_{n} =\frac{f^{(n)}(c)}{n!} (b-a)^{n} $$
となるようなcが、aとbの間に存在する
このときのRnを剰余項（ラグランジュの剰余項）とよびます。剰余項があることで、より近似が正確になります。
マクローリンの定理とは
まず、テイラーの定理の式において、bを変数xにおきかえます。
$$f(x)=f(a)+ \frac{f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!} (x-a)^2 $$
$$ + \cdots + \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} (x-a)^{n-1} +R_{n} $$
ここで
$$c=a+ \theta (x-a) \quad (0 \lt \theta \lt 1)$$
とおくと、テイラーの定理を以下のように言い換えることができます。
関数f(x)がn階微分可能で、a∈Iとすると、I上の任意の点xについて
$$f(x)=f(a)+ \frac{f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!} (x-a)^2$$
$$+ \cdots + \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} (x-a)^{n-1} +R_{n} $$
このとき
\begin{eqnarray} R_{n} & & =\frac{f^{(n)}(c)}{n!} (x-a)^{n} \\& & =\frac{f^{(n)}(a+ \theta (x-a))}{n!} (x-a)^{n} \quad (0 \lt \theta \lt 1) \end{eqnarray}
となるようなcが、aとxの間に存在する
ここで、a=0とするとマクローリンの定理がえられます。
関数f(x)がn階微分可能で、0を含むある区間I上の任意の点xについて
$$f(x)=f(0)+ \frac{f'(0)}{1!} (x)+ \frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!} (x)^2 $$
$$+ \cdots + \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!} (x)^{n-1} +R_{n} $$
このとき
$$\frac{f^{(n)}(c)}{n!} ( \theta x)^{n} $$
となるようなcが、0とxの間に存在する
テイラーの定理と平均値の定理とのつながり
関数fが閉区間[a,b]で連続であり、開区間(a,b)で微分可能のとき開区間(a,b)に
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$
となるようなcが少なくとも1つ存在する
さきほどのテイラーの定理(1)の式において、n=1とすると
$$f(b)=f(a)+R_{1}$$
$$=f(a)+\frac{f^{(1)}(c)}{1!} ( b-a )^{1} $$
$$=f(a)+f'(c)(b-a)$$
となり、これは平均値の定理そのものです。したがって、テイラーの定理は平均値の定理の拡張であるといえます。
テイラーの定理の証明
ここからは、テイラーの定理の証明をしていきます。
まず、a＜bとしておき、定数Kが
$$\frac{K}{n!} (b-a)^n =f(b)- \{f(a)+\frac{f'(a)}{1!} (b-a)$$
$$+ \cdots + \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} (b-a)^{n-1} \} \quad (2)$$
を満たすように定めます。
次に、aを変数xに置き換えて差関数Ｆ(x)をつくります。すると
$$F(x)=f(b)- \{f(x)+\frac{f'(x)}{1!} (b-x)$$
$$+ \cdots + \frac{f^{(n-1)}(x)}{(n-1)!} (b-x)^{n-1} \} -\frac{K}{n!} (b-x)^n$$
となります。すると、Fは[a,b]で連続であり、（a,b）で微分可能な関数です。ここで
$$F(a)=f(b)- \{f(a)+\frac{f'(a)}{1!} (b-a)$$
$$+\cdots + \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} (b-a)^{n-1} \} -\frac{K}{n!} (b-a)^n $$
であり、これに(2)の式を代入すると
$$ F(a)=\frac{K}{n!} (b-a)^n-\frac{K}{n!} (b-a)^n =0 $$
となります。また
$$F(b)=f(b)- \{f(b)+\frac{f'(b)}{1!} (b-b)$$
$$+ \cdots + \frac{f^{(n-1)}(b)}{(n-1)!} (b-b)^{n-1} \} -\frac{K}{n!} (b-b)^n$$
$$=f(b)-f(b)=0$$
となることより、F(a)=F(b)=0であることがわかります。ここでロルの定理を使います。
関数fが閉区間[a,b]で連続であり、開区間(a,b)で微分可能のとき
$$f(a)=f(b)$$
であるとする。そのとき開区間(a,b)に
$$f’ (c)=0$$
となるようなcが少なくとも1つ存在する
ロルの定理より
$$F'(c)=0$$
となるcが少なくとも1つ存在します。
一方で、F’(x)を計算すると
$$F'(x)= \frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!} \{K-f^{(n)} (x) \}$$
よりこの式にx=cを代入すると
$$0=\frac{(b-c)^{n-1}}{(n-1)!} \{K-f^{(n)} (c) \}$$
となり
$$K=f^{(n)} (c) $$
が求まり、これを(2)に代入して移項することで
$$f(b)=f(a)+ \frac{f'(a)}{1!} (b-a)+ \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!} (b-a)^2$$
$$+ \cdots + \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} (b-a)^{n-1} +\frac{f^{(n)}(c)}{n!} (b-a)^{n} $$
となり(1)の式と一致したので、テイラーの定理が証明できました。
まとめ
今回の記事では、テイラーの定理とマクローリンの定理について解説しました。この2つの法則は、テイラー展開やマクローリン展開に使う大事な法則です。しっかり理解して、証明もできるようにしましょう。
