今回の記事では2階線形微分方程式の非同次形の未定係数法について解説していきます。2階線形微分方程式の同次形の知識を使うので、忘れている方は以下の記事を参照してください。
2階線形微分方程式の非同次形とは
まず2階線形微分方程式について述べておきます。次の形の微分方程式です。
$$\frac{d^2 y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=R(x)$$
この2階線形微分方程式において$R(x)=0$のときを同次微分方程式といい、$R(x)\neq 0$のときを非同次微分方程式といいます。よって2階線形微分方程式の非同次形とは次の形の微分方程式です。
$$\frac{d^2 y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=R(x)$$
ただし$R(x) \neq 0$である。
2階線形微分方程式の非同次形の一般解
2階線形微分方程式の非同次形の一般解は次のように与えられます。
2階線形微分方程式の非同次形の一般解を$y(x)$とし、2階線形微分方程式の同次形の一般解を$y_c (x)$とし、非同次方程式の特殊解を$Y(x)$とすると
$$y(x)=y_c (x)+Y(x)$$
つまり、2階線形微分方程式の非同次形$\frac{d^2 y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=R(x)$の一般解$y(x)$を求めたいときは、まず右辺の$R(x)$を$R(x)=0$として、2階線形微分方程式の同次形の一般解$y_c (x)$を求めます。これは特性方程式を利用することで求めることができましたね。このときの$y_c (x)$を$\frac{d^2 y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=R(x)$の余関数といいます。あとは非同次方程式の特殊解$Y(x)$が求められればいいわけです。これの求め方は後に紹介します。
定数係数の2階線形微分方程式の非同次形
定数係数の2階線形微分方程式の同次形とは、2階線形微分方程式の同次形$\frac{d^2 y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=0$において、$P(x)=a,Q(x)=b$(a,bは定数)と置いた形です。よって定数係数の2階線形微分方程式の同次形とは次の形の微分方程式です。
$$\frac{d^2 y}{dx^2}+a \frac{dy}{dx}+by=R(x)$$
ただし$R(x) \neq 0$であり、 a,bは実定数である
定数係数の2階線形微分方程式の非同次形の解き方
定数係数の2階線形微分方程式の非同次形の解き方は主に3パターンあります。
今回は、未定係数法について解説していきます。
未定係数法
定数係数の2階線形微分方程式の非同次形を未定係数法を使って解くことができます。未定係数法とは、非同次項$R(x)$の形から特殊解の形を推測して、これを与式に代入して係数を比較する解法です。この解法は、非同次項$R(x)$の形によって3パターンに分けられます。
[1]$R(x)$がxのn次の多項式のとき
[2]$R(x)$が$e^{\alpha x}$のとき
[3]$R(x)$が$\cos{\beta x},\sin{\beta x}$のとき
それぞれ解説していきます。
[1]$R(x)$がxのn次の多項式のとき
$\frac{d^2 y}{dx^2}+a \frac{dy}{dx}+by=R(x)$について、$R(x)$がxのn次の多項式のとき、特殊解を以下のようにしておくことで未定係数法を使って解くことができます。
(1)$R(x)$がxのn次の多項式で特性方程式が$0$を解に持たないとき
$$Y(x)=A x^n +Bx^{n-1}+…+C$$
(2)$R(x)$がxのn次の多項式で特性方程式が$0$をm個の解に持つとき
$$Y(x)=x^m (A x^n +Bx^{n-1}+…+C)$$
(1)$R(x)$がxのn次の多項式で特性方程式が$0$を解に持たないとき
$R(x)$がxのn次の多項式で特性方程式が$0$を解に持たないときについて、例題を解いてみましょう。
【例題(1)】$y^{\prime\prime}+5y’-6y=x^2+2x$を解け
まずは2階線形微分方程式の同次形の一般解$y_c (x)$を特性方程式を利用することで求めていきます。与式の$R(x)$を$R(x)=0$として、$y^{\prime\prime}+5y’-6y=0$として特性方程式を考えます。特性方程式は$t^2+5t-6=0$より
$$(t-1)(t+6)=0$$
$$t=1,-6$$
よって異なる2つの実数解をもつので、与式の余関数は
$$y_c (x)=C_1 e^x+C_2 e^{-6x}$$
次は特殊解$Y(x)$を求めていきます。$R(x)$がxの2次の多項式で特性方程式が$0$を解に持たないので、特殊解を$Y(x)=Ax^2+Bx+C$とおきます。すると、$Y’=2Ax+B$,$Y^{\prime\prime}=2A$となります。これらを与式に代入します。
$$2A+5(2Ax+B)-6(Ax^2+Bx+C)=x^2+2x$$
$$-6Ax^2 +(10A-6B)x+(2A+5B-6C)=x^2 +2x$$
ここで両辺の係数を比較することによって
$$-6A=1,10A-6B=2,2A+5B-6C=0$$
$$A=-\frac{1}{6},B=-\frac{11}{18},C=-\frac{61}{108}$$
したがって特殊解は
$$Y(x)=-\frac{1}{6}x^2 -\frac{11}{18} x -\frac{61}{108}$$
よって求める一般解は
$$y=C_1 e^x+C_2 e^{-6x}-\frac{1}{6}x^2 -\frac{11}{18} x -\frac{61}{108}$$
(2)$R(x)$がxのn次の多項式で特性方程式が$0$をm個の解に持つとき
$R(x)$がxのn次の多項式で特性方程式が$0$をm個の解に持つときについて、例題を解いてみましょう。
【例題(2)】$y^{\prime\prime}+y’=2x^2$を解け
まずは2階線形微分方程式の同次形の一般解$y_c (x)$を特性方程式を利用することで求めていきます。与式の$R(x)$を$R(x)=0$として、$y^{\prime\prime}+y’=0$として特性方程式を考えます。特性方程式は$t^2+t=0$より
$$t(t+1)=0$$
$$t=0,-1$$
よって異なる2つの実数解をもつので、与式の余関数は
\begin{eqnarray} y_c (x)& &=C_1 e^{0x}+C_2 e^{-x}\\& &= C_1 +C_2 e^{-x} \end{eqnarray}
次は特殊解$Y(x)$を求めていきます。$R(x)$がxの2次の多項式で特性方程式が$0$を1個の解(単解)に持つので、特殊解を$Y(x)=x(Ax^2+Bx+C)$とおきます。すると、$Y’=3Ax^2+2Bx+C$,$Y^{\prime\prime}=6Ax+2B$となります。これらを与式に代入します。
$$6Ax+2B+3Ax^2+2Bx+C=2x^2$$
$$3Ax^2 +(6A+2B)x+(2B+C)=2x^2$$
ここで両辺の係数を比較することによって
$$3A=2,6A+2B=0,2B+C=0$$
$$A=\frac{2}{3},B=-2,C=4$$
したがって特殊解は
$$Y(x)=\frac{2}{3}x^3 -2 x^2 +4x$$
よって求める一般解は
$$y=C_1 +C_2 e^{-x}+\frac{2}{3}x^3 -2 x^2 +4x$$
[2]$R(x)$が$e^{\alpha x}$のとき
$\frac{d^2 y}{dx^2}+a \frac{dy}{dx}+by=R(x)$について、$R(x)$が$e^{\alpha x}$のときのとき、特殊解を以下のようにしておくことで未定係数法を使って解くことができます。
(1)$R(x)$が$e^{\alpha x}$で特性方程式が$\alpha$を解に持たないとき
$$Y(x)=Ae^{\alpha x}$$
(2)$R(x)$が$e^{\alpha x}$で特性方程式が$\alpha$をm個の解に持つとき
$$Y(x)=Ax^m e^{\alpha x}$$
(3)$R(x)$が$x^n e^{\alpha x}$で特性方程式が$\alpha$をm個の解に持つとき
$$Y(x)=x^m (A x^n +Bx^{n-1}+…+C)e^{\alpha x}$$
(1)$R(x)$が$e^{\alpha x}$で特性方程式が$\alpha$を解に持たないとき
$R(x)$が$e^{\alpha x}$で特性方程式が$\alpha$を解に持たないときについて、例題を解いてみましょう。
【例題(3)】$y^{\prime\prime}+2y’+2y=2e^{2x}$を解け
まずは2階線形微分方程式の同次形の一般解$y_c (x)$を特性方程式を利用することで求めていきます。与式の$R(x)$を$R(x)=0$として、$y^{\prime\prime}+2y’+2y=0$として特性方程式を考えます。特性方程式は$t^2+2t+2=0$より
\begin{eqnarray} t& &=\frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{2}\\& &=-1 \pm i \end{eqnarray}
よって虚数解をもつので、与式の余関数は
$$y_c (x)=e^{-x} (C_1 \cos{x}+C_2 \sin{x})$$
次は特殊解$Y(x)$を求めていきます。$R(x)$が$e^{2x}$で特性方程式が$2$を解に持たないので、特殊解を$Y(x)=Ae^{2 x}$とおきます。すると、$Y’=2Ae^{2x}$,$Y^{\prime\prime}=4Ae^{2x}$となります。これらを与式に代入します。
$$4Ae^{2x}+2・2Ae^{2x}+2・Ae^{2x}=2e^{2x}$$
$$10Ae^{2x}=2e^{2x}$$
ここで両辺の係数を比較することによって
$$A=\frac{1}{5}$$
したがって特殊解は
$$Y(x)=\frac{1}{5}e^{2x}$$
よって求める一般解は
$$y=e^{-x} (C_1 \cos{x}+C_2 \sin{x})+\frac{1}{5}e^{2x}$$
(2)$R(x)$が$e^{\alpha x}$で特性方程式が$\alpha$をm個の解に持つとき
$R(x)$が$e^{\alpha x}$で特性方程式が$\alpha$をm個の解に持つときについて、例題を解いてみましょう。
【例題(4)】$y^{\prime\prime}+2y’-8y=3e^{2x}$を解け
まずは2階線形微分方程式の同次形の一般解$y_c (x)$を特性方程式を利用することで求めていきます。与式の$R(x)$を$R(x)=0$として、$y^{\prime\prime}+2y’-8y=0$として特性方程式を考えます。特性方程式は$t^2+2t-8=0$より
$$(t+4)(t-2)=0$$
$$t=-4,2$$
よって異なる2つの実数解をもつので、与式の余関数は
$$ y_c (x)=C_1 e^{-4x}+C_2 e^{2x}$$
次は特殊解$Y(x)$を求めていきます。$R(x)$が$e^{2x}$で特性方程式が$2$を１個の解(単解)に持つので、特殊解を$Y(x)=Axe^{2 x}$とおきます。すると、$Y’=Ae^{2x}+2Axe^{2x}$,$Y^{\prime\prime}=4Ae^{2x}+4Axe^{2x}$となります。これらを与式に代入します。
$$4Ae^{2x}+4Axe^{2x}+2(2Ae^{2x}+2Axe^{2x})-8・Axe^{2x}=3e^{2x}$$
$$6Ae^{2x}=3e^{2x}$$
ここで両辺の係数を比較することによって
$$A=\frac{1}{2}$$
したがって特殊解は
$$Y(x)=\frac{1}{2}xe^{2x}$$
よって求める一般解は
$$y=C_1 e^{-4x}+C_2 e^{2x}+\frac{1}{2}xe^{2x}$$
(3)$R(x)$が$x^n e^{\alpha x}$で特性方程式が$\alpha$をm個の解に持つとき
$R(x)$が$x^n e^{\alpha x}$で特性方程式が$\alpha$をm個の解に持つときについて、例題を解いてみましょう。
【例題(5)】$y^{\prime\prime}-y’-2y=18xe^{2x}$を解け
まずは2階線形微分方程式の同次形の一般解$y_c (x)$を特性方程式を利用することで求めていきます。与式の$R(x)$を$R(x)=0$として、$y^{\prime\prime}-y’-2y=0$として特性方程式を考えます。特性方程式は$t^2+2t-8=0$より
$$(t+1)(t-2)=0$$
$$t=-1,2$$
よって異なる2つの実数解をもつので、与式の余関数は
$$ y_c (x)=C_1 e^{-x}+C_2 e^{2x}$$
次は特殊解$Y(x)$を求めていきます。$R(x)$が$xe^{2x}$で特性方程式が$2$を１個の解(単解)に持つので、特殊解を$Y(x)=x(Ax+B)e^{2x}$とおきます。すると、$Y’=(2Ax^2 +2Ax+2Bx+B)e^{2x}$,$Y^{\prime\prime}=(4Ax^2+8Ax+2A+4Bx+4B)e^{2x}$となります。3つの項の微分は、
\begin{eqnarray} \{f(x)g(x)h(x)\}’& &=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)\\& &+f(x)g(x)h'(x) \end{eqnarray}
を利用することで計算することができます。これらを与式に代入して計算すると
$$(6Ax+3B+2A)e^{2x}=18xe^{2x}$$
ここで両辺の係数を比較することによって
$$6A=18,2A+3B=0$$
$$A=3,B=-2$$
したがって特殊解は
$$Y(x)=x(3x-2)e^{2x}$$
よって求める一般解は
$$y=C_1 e^{-x}+C_2 e^{2x}+x(3x-2)e^{2x}$$
[3]$R(x)$が$\cos{\beta x},\sin{\beta x}$のとき
$\frac{d^2 y}{dx^2}+a \frac{dy}{dx}+by=R(x)$について、$R(x)$が$\cos{\beta x},\sin{\beta x}$のとき、特殊解を以下のようにしておくことで未定係数法を使って解くことができます。
(1)$R(x)$が$\cos{\beta x},\sin{\beta x}$で特性方程式が虚数解$\beta i$を持たないとき
$$Y(x)=A\cos{\beta x}+B\sin{\beta x}$$
(2)$R(x)$が$\cos{\beta x},\sin{\beta x}$で特性方程式が虚数解$\beta i$を持つとき
$$Y(x)=x(A\cos{\beta x}+B\sin{\beta x})$$
(1)$R(x)$が$\cos{\beta x},\sin{\beta x}$で特性方程式が虚数解$\beta i$を持たないとき
$R(x)$が$\cos{\beta x},\sin{\beta x}$で特性方程式が虚数解$\beta i$を持たないときについて、例題を解いてみましょう。
【例題(6)】$y^{\prime\prime}-2y’+5y=\cos{x}$を解け
まずは2階線形微分方程式の同次形の一般解$y_c (x)$を特性方程式を利用することで求めていきます。与式の$R(x)$を$R(x)=0$として、$y^{\prime\prime}-2y’+5y=0$として特性方程式を考えます。特性方程式は$t^2-2t+5=0$より
\begin{eqnarray} t& &=\frac{2 \pm \sqrt{4-20}}{2}\\& &=-1 \pm 2i \end{eqnarray}
よって虚数解をもつので、与式の余関数は
$$y_c (x)=e^{-x} (C_1 \cos{2x}+C_2 \sin{2x})$$
次は特殊解$Y(x)$を求めていきます。$R(x)$が$\cos{ x}$で特性方程式が虚数解$ i$を持たないので、特殊解を$Y(x)=A\cos{x}+B\sin{x}$とおきます。すると、$Y’=-A\sin{x}+B\cos{x}$,$Y^{\prime\prime}=-A\cos{x}-B\sin{x}$となります。これらを与式に代入します。
$$(-A\cos{x}-B\sin{x})-2(-A\sin{x}+B\cos{x})$$
$$+5(A\cos{x}+B\sin{x})=\cos{x}$$
$$(4A-2B)\cos{x}+(2A+4B)\sin{x}=\cos{x}$$
ここで両辺の係数を比較することによって
$$4A-2B=1,2A+4B=0$$
$$A=\frac{1}{5},B=-\frac{1}{10}$$
したがって特殊解は
$$Y(x)=\frac{1}{5}\cos{x}-\frac{1}{10}\sin{x}$$
よって求める一般解は
$$y=e^{-x} (C_1 \cos{2x}+C_2 \sin{2x})+\frac{1}{5}\cos{x}-\frac{1}{10}\sin{x}$$
(2)$R(x)$が$\cos{\beta x},\sin{\beta x}$で特性方程式が虚数解$\beta i$を持つとき
$R(x)$が$\cos{\beta x},\sin{\beta x}$で特性方程式が虚数解$\beta i$を持つときについて、例題を解いてみましょう。
【例題(7)】$y^{\prime\prime}+4y=\cos{2x}$を解け
まずは2階線形微分方程式の同次形の一般解$y_c (x)$を特性方程式を利用することで求めていきます。与式の$R(x)$を$R(x)=0$として、$y^{\prime\prime}+4y=0$として特性方程式を考えます。特性方程式は$t^2+4=0$より
$$ t=\pm 2i $$
よって虚数解をもつので、与式の余関数は
\begin{eqnarray} y_c (x)& &=e^{0} (C_1 \cos{2x}+C_2 \sin{2x})\\& &=C_1 \cos{2x}+C_2 \sin{2x} \end{eqnarray}
次は特殊解$Y(x)$を求めていきます。$R(x)$が$\cos{ 2x}$で特性方程式が虚数解$ 2i$を持つので、特殊解を$Y(x)=x(A\cos{x}+B\sin{x})$とおきます。すると、$Y’=(A+2Bx)\cos{2x}+(-2Ax+B)\sin{2x}$,$Y^{\prime\prime}=(-4Ax+4B)\cos{2x}+(-4A-4Bx)\sin{2x}$となります。これらを与式に代入します。
$$\{(-4Ax+4B)\cos{2x}+(-4A-4Bx)\sin{2x}\}$$
$$+4\{(A+2Bx)\cos{2x}+(-2Ax+B)\sin{2x}\}=\cos{2x}$$
$$(4B-1)\cos{2x}-4A\sin{2x}=\cos{x}$$
ここで両辺の係数を比較することによって
$$4B-1=0,-4A=0$$
$$A=0,B=\frac{1}{4}$$
したがって特殊解は
$$Y(x)=\frac{1}{4}x\sin{2x}$$
よって求める一般解は
$$y=C_1 \cos{2x}+C_2 \sin{2x}+\frac{1}{4}x\sin{2x} $$
まとめ
今回は2階線形微分方程式の非同次形の未定係数法について解説しました。3つの解法の中でも特に重要なので、しっかりマスターしておきましょう。
