【絶対わかる】ダランベールの原理とは

今回の記事では、ダランベールの原理について解説していきます。

ダランベールの原理とは

ダランベールの原理とは、運動方程式を力のつりあいの式と同じにすることで、動力学を静力学に帰着させる法則です。静力学で使える仮想仕事の原理を、動力学において一般化することによって、束縛力を無視して式を作ることができるのがメリットです。ダランベールの原理の式は以下の通りです。

ダランベールの原理の導出

ここからは、ダランベールの原理を導いていきます。まずは、1個の質点の運動方程式を考えます。

上の図の質点の運動方程式はもちろん

$$F=m\ddot{x}$$

ですね。ここで、両辺を左辺に集めると

$$F-m\ddot{x}=0$$

となります。このとき

$$-m\ddot{x}$$

を質点に作用する1つの力（慣性力）であるとみなすと、図に表すと以下のようになります。

これで運動方程式を、力のつりあいで考えることができるようになりました。

次に、これを一般化するために3次元デカルト座標（空間）で考えます。この空間座標での、ある質点の位置ベクトルをrとおくと

$$F-m\ddot{r}=0 \quad (1)$$

と表すことができます。ここで仮想仕事の原理を使います。

仮想仕事の原理の詳しい説明については以下の記事を参照してください。

(1)の式に仮想仕事の原理を適用すると

$$(F-m\ddot{r})\cdot \ δr=0$$

となり、ダランベールの原理の式を導くことができました。

まとめ

今回は、ダランベールの原理について解説しました。ダランベールの原理は、ラグランジュの運動方程式の導出にも使えるとても重要な法則です。しっかり理解して、導出もできるようにしましょう。