今回の記事では変数分離形について解説していきます。
変数分離形とは
次の形の微分方程式を変数分離形といいます。
$$\frac{dy}{dx}=P(x)Q(y)$$
P(X)はxだけの関数(ほかの関数はない)であり、Q(X)はyだけの関数(ほかの関数はない)なので、変数分離形とはすなわち$\frac{dy}{dx}$=(xだけの関数) $\times$ (yだけの関数)の形です。
変数分離形の解き方
変数分離形の微分方程式は以下の3STEPで解くことができます。
yの関数とdyを左辺に、xの関数とdxを右辺にもっていきます。この操作を変数分離といいます。
両辺をそれぞれの変数で積分します。つまり左辺はyの積分、右辺はxで積分します。このときの積分定数は$C_1$としておく
定数項をCとおきます。たとえば$2C_1$や$\pm e^{C_1}$は定数なのでこれを簡単にするためにCとおきます。
このように変数分離形は難しい操作がなくて、簡単に解くことができます。
この3STEPを使って例題にチャレンジしてみましょう。
【例題(1)】$y(1+x^2)dy=xdx$を解け
まずはyの関数とdyを左辺に、xの関数とdxを右辺にもっていきます。与式では$(1+x^2)$が左辺にあるのでこれを右辺にもっていきます。与式の両辺を$1+x^2$でわると
$$y \ dy=\frac{x}{1+x^2} \ dx$$
これで変数分離が完了しました。次に両辺をそれぞれの変数で積分します。
$$\int y \ dy=\int \frac{x}{1+x^2} \ dx$$
$$\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}\log{(1+x^2)}+C_1$$
$$y^2=\log{(1+x^2)}+2C_1$$
ここで定数項をCとおきます。この式において定数は$2C_1$なので$C=2C_1$とすると
$$y^2=\log{(1+x^2)}+C$$
これで微分方程式を解くことができました。
変数分離形に帰着させて微分方程式を解く
変数分離形でない微分方程式を、置き換えや式変形を行うことで変数分離形に帰着させて解くことができます。代表的なものを紹介しておきます。
置き換えで変数分離系に帰着できる形
$$\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)$$
この形はよく出てくるので変数分離系で解くことは覚えておきましょう。
変数分離形に帰着する解き方
$\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)$の形の微分方程式は以下の4STEPで解くことができます。
$u=ax+by+c$とおいて未知の関数をyからuに変えます。
置き換えた式の両辺をxで微分したあと、$\frac{dy}{dx}=~$の形にします。
STEP2で求めた$\frac{dy}{dx}$を与式に代入することで、与式はxとuの変数分離形となります。これを解きます。
uはあくまでも置き換えなので最後に元の式$ax+by+c$に戻すことを忘れないでください。
この4STEPを使って例題にチャレンジしてみましょう。
【例題(2)】$ \frac{dy}{dx}=2x+3y+1$を解け
まずは$ax+by+c$を$u$とおきます。つまり$u=2x+3y+1$とします。次にこの式の両辺をxで微分すると
$$\frac{du}{dx}=2+3\frac{dy}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3} ・\frac{du}{dx}-\frac{2}{3}$$
これを与式に代入すると
$$\frac{1}{3} ・\frac{du}{dx}-\frac{2}{3}=u$$
$$\frac{du}{dx}=3u-2$$
これで変数分離形になりました。ここで変数分離を行います。
$$\frac{du}{3u+2}=dx$$
次に両辺をそれぞれの変数で積分します。
$$\int \frac{du}{3u+2}=\int dx$$
$$\frac{1}{3}\log{|3u+2|}=x+C_1$$
$$\log|3u+2|=3x+3C_1$$
$$3u+2=\pm e^{3x+3C_1}$$
ここで定数項をCとおきます。xがついているものは定数ではないので
$$3u+2=\pm e^{3x}・e^{3C_1}$$
として分けることで、この式において定数は$\pm e^{3C_1}$なので$C=\pm e^{3C_1}$とすると
$$3u+2=Ce^{3x}$$
uをもとの式に戻します。
$$3(2x+3y+1)+2=Ce^{3x}$$
$$6x+9y+5=Ce^{3x}$$
練習問題
練習問題にチャレンジしてみましょう。
(1)$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{\log{y}}$を解け
まずは変数分離を行います。
$$\log{y} \ dy=x \ dx$$
次に両辺をそれぞれの変数で積分します。
$$\int \log{y} \ dy=\int x \ dx$$
ここで左辺において部分積分を使うことによって
\begin{eqnarray} \int \log{y} \ dy& &=\int 1・\log{y} \ dy\\& &=y\log{y}-\int dy\\& &=y\log{y}-y+C_1 \end{eqnarray}
したがって
$$y\log{y}-y=\frac{x^2}{2}+C_1$$
今回の定数は$C_1$なので$C=C_1$として
$$y\log{y}-y=\frac{x^2}{2}+C$$
(2)$\frac{dy}{dx}=\sqrt{x-y+1}$を解け
まずは$ax+by+c$を$u$とおきます。つまり$u=x-y+1$とします。次にこの式の両辺をxで微分すると
$$\frac{du}{dx}=1-\frac{dy}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=1-\frac{du}{dx}$$
これを与式に代入すると
$$1-\frac{du}{dx}=\sqrt{u}$$
$$\frac{du}{dx}=1-\sqrt{u}$$
これで変数分離系になりました。ここで変数分離を行います。
$$\frac{1}{\sqrt{u}-1} \ du=-dx$$
次に両辺をそれぞれの変数で積分します。
$$\int \frac{1}{\sqrt{u}-1} \ du=\int -dx$$
左辺を置換積分で計算していきます。$\sqrt{u}-1=t$とおくと
$$\sqrt{u}=t+1$$
$$u=(t+1)^2$$
よって
$$\frac{du}{dt}=2(t+1)$$
したがって
\begin{eqnarray} \int \frac{1}{\sqrt{u}-1} \ du& &=\int \frac{1}{t}・2(t+1) \ dt\\& &=\int 2+\frac{1}{t} \ dt\\& &=2t+\log{t} +C_1\\& &=2(\sqrt{u}-1)+\log{|\sqrt{u}-1|}+C_1 \end{eqnarray}
よって
$$2(\sqrt{u}-1)+\log{|\sqrt{u}-1|}=-x+C_1$$
$$2(\sqrt{x-y+1}-1)+\log{|\sqrt{x-y+1}-1|}=-x+C_1$$
今回の定数は$C_1$なので$C=C_1$として
$$2(\sqrt{x-y+1}-1)+\log{|\sqrt{x-y+1}-1|}=-x+C$$
まとめ
今回は変数分離形について解説しました。微分方程式の基本的な形であり頻繁に使うので、何回も演習を繰り返して慣れていきましょう。
