今回の記事ではクレローの微分方程式について解説していきます。
クレローの微分方程式とは
次の形の微分方程式をクレローの微分方程式と言います。
$$y=x\frac{dy}{dx}+f(\frac{dy}{dx})$$
つまり$y=x\frac{dy}{dx}$ + ($\frac{dy}{dx}$だけの関数)の形です。クレローの微分方程式は非正規形の1階微分方程式であり、与式を微分することで解を求めることができます。
クレローの微分方程式の解き方
クレローの微分方程式は以下の3STEPで解くことができます。
$\frac{dy}{dx}=p$とおいて式を簡単にします。この式の両辺をxで微分します。
STEP1の式を変形して(xとpの式)・$\frac{dp}{dx}$=0の形にします。こうすることで解が、(xとpの式)=0または$\frac{dp}{dx}=0$だとわかります。これを場合分けすることによって、一般解と特異解を求めます。
一般解について、[1]$\frac{dp}{dx}=0$のときから求めます。このときpは定数であるので$p=C$(Cは任意定数)とおいて、これを与式に代入します。これが一般解です。特異解について、[2](xとpの式)=0のときから求めます。(xとpの式)=0と与式よりpを消去したものが特異解です。
この3STEPを使って例題にチャレンジしてみましょう。
【例題(1)】$y=x\frac{dy}{dx}-(\frac{dy}{dx})^2$を解け
まず$\frac{dy}{dx}=p$とおいて式を簡単にします。
$$y=px-p^2 \quad (1)$$
この式の両辺をxで微分します。pはxの関数であることに気をつけて微分します。
$$\frac{dy}{dx}=x\frac{dp}{dx}+p-2p\frac{dp}{dx}$$
$$p=x\frac{dp}{dx}+p-2p\frac{dp}{dx}$$
$$(x-2p)\frac{dp}{dx}=0$$
この式より$\frac{dp}{dx}=0$または$x-2p=0$だとわかります。ここで、場合分けを行います。
[1]$\frac{dp}{dx}=0$のとき
このとき$\frac{dp}{dx}=0$よりpは定数なことがわかります。よって$p=C$(Cは任意定数)として(1)に代入します。したがって一般解は
$$y=Cx-C^2$$
[2]$x-2p=0$のとき
$x-2p=0$より$p=\frac{x}{2}$なので、これを(1)に代入すると
$$y=(\frac{x}{2})・x-(\frac{x}{2})^2$$
したがって特異解は
$$y=\frac{x^2}{4}$$
練習問題
練習問題にチャレンジしてみましょう。
$y=x\frac{dy}{dx}+\frac{dx}{dy}$を解け
$\frac{dx}{dy}$も$\frac{dy}{dx}$の関数なので、もちろんこの式もクレローの微分方程式です。まず$\frac{dy}{dx}=p$とおいて式を簡単にします。
$$y=px+\frac{1}{p} \quad (1)$$
この式の両辺をxで微分します。pはxの関数であることに気をつけて微分します。
$$\frac{dy}{dx}=x\frac{dp}{dx}+p-\frac{1}{p^2} \frac{dp}{dx}$$
$$p=x\frac{dp}{dx}+p-\frac{1}{p^2} \frac{dp}{dx}$$
$$(x-\frac{1}{p^2})\frac{dp}{dx}=0$$
この式より$\frac{dp}{dx}=0$または$x-\frac{1}{p^2}=0$だとわかります。ここで、場合分けを行います。
[1]$\frac{dp}{dx}=0$のとき
このとき$\frac{dp}{dx}=0$よりpは定数なことがわかります。よって$p=C$(Cは任意定数)として(1)に代入します。したがって一般解は
$$y=Cx+\frac{1}{C}$$
[2]$x-\frac{1}{p^2}=0$のとき
$x-\frac{1}{p^2}=0$より$x=\frac{1}{p^2}$なので、これを(1)に代入すると
$$y=p・(\frac{1}{p^2})+\frac{1}{p}=\frac{2}{p}$$
ここで$p=\pm \frac{1}{\sqrt{x}}$より、pを消去すると特異解は
$$y=\pm 2\sqrt{x}$$
まとめ
今回はクレローの微分方程式について解説しました。一般解と特異解の両方を求める珍しい形ですが、しっかり覚えておきましょう。
