今回の記事では電磁気学における基本体系について解説していきます。
はじめに
院試対策において陥りがちなのは，電磁気学の本質を追うことに時間をかけすぎて，実際に問題を解くことをあまりしないことです。そこで電磁気学の本質ではなく，電磁気学の院試問題を解くための本質をまとめたものを作成すれば，物理学専攻の学生の役に立つのではないかと考えました。【院試電磁気学】では電磁気学の公式について「暗記するべき公式」，「暗記もするが導出もできるようにする公式」，「暗記はせず導出するべき公式」，「どうせ問題文であたえられるから覚えなくてもよい公式」の4つにわけ，試験時の負荷が最も少なくなるように電磁気学を組み立てました。それぞれ囲んだ線の色を黒，青，オレンジ，緑にして区別しています。
読者層としては電磁気学の授業を受けた人や電磁気学の基礎をある程度勉強した人を想定しています。ぜひこの院試電磁気学を読んで院試問題にチャレンジしてみてください！
1.1 場$\boldsymbol{E}$,$\boldsymbol{B}$の定義
電磁気学において最も基本となる 2 つのベクトル場 $\boldsymbol{E}$ と $\boldsymbol{B}$ は、荷電粒子が受ける力（ローレンツ力）を出発点として統一的に定義されます。$\boldsymbol{E}$ と $\boldsymbol{B}$ が存在するとき，速度 $\boldsymbol{v}$ で運動する電荷 $q$ の点電荷に働く力 $\boldsymbol{F}$ は、以下の公理的関係式によって与えられます。
$$\boldsymbol{F}=q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{B}) \tag{1.1}\label{ro}$$
$\boldsymbol{E}$ を電場，$\boldsymbol{B}$を磁束密度と呼びます。($\boldsymbol{B}$は磁場と呼ばれることもありますが，【院試電磁気学】では磁束密度と呼びます)
1.2 電磁気学に必須のベクトル解析の公式
電磁気学には暗記していたほうがよいベクトル解析の公式を示しておきます。なお暗記の負荷を下げるために，勾配を$\nabla\boldsymbol{A}=\mathrm{grad}\,\boldsymbol{A}$,発散を$ \nabla \cdot \boldsymbol{A} =\mathrm{div}\,\boldsymbol{A}$,回転を$\nabla \times \boldsymbol{A}=\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}$とした表記で統一します。
1.3で紹介するマクスウェル方程式の微分形と積分形の相互変換に使われるのが，次数下げの公式です。
$$\int_S (\operatorname{rot}\boldsymbol{A}) \cdot d\boldsymbol{S} = \oint_C \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{r} \tag{1.2}\label{su}$$
$$\int_V (\operatorname{div}\boldsymbol{A}) \, dV = \oint_S \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{S} \tag{1.3}\label{hassan}$$
\eqref{su}をストークスの定理，\eqref{hassan}をガウスの発散定理と呼びます。ストークスの定理は面積分から線積分に，ガウスの発散定理は体積分から面積分に変換されていることから次数下げの公式と呼んでいます。($\oint_C$は閉曲線に沿う周回積分，$\oint_S$は閉曲面上の面積分を表します)
ベクトルの2階微分に関する以下の3つの公式は、静電ポテンシャルやベクトルポテンシャルの導入、および電磁波の波動方程式の導出において必須の公式となっています。
$$\mathrm{div}\,\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}=0 \tag{1.4}\label{divrot}$$
$$\mathrm{rot}\,\mathrm{grad}\,\boldsymbol{A}=0 \tag{1.5}\label{rotgrad}$$
$$\mathrm{rot}\,\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}=\mathrm{grad}\,\mathrm{div}\,\boldsymbol{A}-\nabla^2 \boldsymbol{A} \tag{1.6}\label{rotrot}$$
覚えにくいですが，この三大恒等式を覚えることで様々な公式の導出ができるため必ず暗記しておきましょう。
1.3 マクスウェル方程式の微分系と電荷保存則
電磁気学はマクスウェル方程式というたった4つの方程式で体系をなしています。マクスウェル方程式には微分形と積分形がありますが，微分形を暗記しておき積分形は必要時に微分形から導出するのが使い勝手がいいです。
$$\mathrm{rot}\,\boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \tag{1.7}\label{fadi}$$
$$\mathrm{div}\,\boldsymbol{B}=0 \tag{1.8}\label{maggaussdi}$$
$$\mathrm{rot}\,\boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} \tag{1.9}\label{anmaxdi}$$
$$\mathrm{div}\,\boldsymbol{D}=\rho \tag{1.10}\label{gaussdi}$$
\eqref{fadi}をファラデーの法則，\eqref{maggaussdi}を磁気に関するガウスの法則，\eqref{anmaxdi}をアンペール-マクスウェルの法則，\eqref{gaussdi}をガウスの法則と呼びます。新しく登場した文字として$\boldsymbol{D}$を電束密度，$\boldsymbol{H}$を電場，$\boldsymbol{j}$を電流密度，$\rho$を電荷密度と呼びます。
マクスウェル方程式だけでは、未知の物理量（$\boldsymbol{E}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{H}, \boldsymbol{D}, \boldsymbol{j}$）に対して方程式の数が足りず、場を完全に解くことができません。 そこで、電磁場が物質に与える影響を表す以下の3つの関係式が必要になります。これを構成方程式と呼びます。
\begin{equation}\boldsymbol{D} = \varepsilon \boldsymbol{E} \tag{1.11}\label{Dcom}\end{equation}
\begin{equation}\boldsymbol{B} = \mu \boldsymbol{H} \tag{1.12}\label{Bcom}\end{equation}
\begin{equation}\boldsymbol{j} = \sigma _c\boldsymbol{E}\label{jcom} \tag{1.13}\end{equation}
$\varepsilon$を誘電率，$\mu$を透磁率，$\sigma_c$を電気伝導率と呼びます。注意しておきたいのは，どんな時でも成立するマクスウェル方程式とは異なり，構成方程式は状況によって成立しない場面が存在します。
マクスウェル方程式の微分形から電荷保存則(連続の方程式)という式が導出できます。この法則はその名の通り電荷の総量はいかなる場合でも保存されることを示しています。
$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\mathrm{div}\,\boldsymbol{j}=0\tag{1.14}$$
マクスウェル方程式の微分形から電荷保存則を求めさせる問題は頻出ですが，この公式自体を覚えていれば導出の道筋は容易に見えてきます。導出過程を示しておきます。まず\eqref{anmaxdi}の$\mathrm{rot}\,\boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} $の両辺の発散をとると
$$\mathrm{div}\,\mathrm{rot}\,\boldsymbol{H}=\mathrm{div}\,\boldsymbol{j}+\mathrm{div}\,\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}$$
ここで\eqref{divrot}の公式$\mathrm{div}\,\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}=0 $より左辺が消え
$$\mathrm{div}\,\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}+\mathrm{div}\,\boldsymbol{j}=0$$
ここで時間微分$\frac{\partial}{\partial t}$と空間微分$\mathrm{grad},\mathrm{div},\mathrm{rot}$は入れ替え可能であり
$$\frac{\partial}{\partial t}\mathrm{div}\,\boldsymbol{D}+\mathrm{div}\,\boldsymbol{j}=0$$
最後に\eqref{gaussdi}の$\mathrm{div}\,\boldsymbol{D}=\rho $を代入することで
$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\mathrm{div}\,\boldsymbol{j}=0$$
となり電荷保存則が導出されました。これより電荷保存則はマクスウェル方程式と独立して存在するものではなく，マクスウェル方程式にもともと組み込まれている保存則であると解釈できます。
電磁気学はローレンツ力とマクスウェル方程式の微分形(その中に組み込まれている電荷保存則)によって完全に体系づけられています。
1.4 マクスウェル方程式の積分系と境界条件
マクスウェル方程式の微分形に次数下げの公式を用いることでマクスウェル方程式の積分形が導出できます。積分形自体を暗記するのは手間なのでしなくてよいです。
$$\oint_{C} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{r} = -\int_{S} \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S}\tag{1.15}\label{fain}$$
$$\oint_{S} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S} = 0\tag{1.16}\label{maggaussin}$$
$$\oint_{C} \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_{S} \left( \boldsymbol{j} + \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol{S} \tag{1.17}\label{anmaxin}$$
$$\oint_{S} \boldsymbol{D} \cdot d\boldsymbol{S} = \int_{V} \rho \, dV \tag{1.18}\label{gaussin}$$
\eqref{fain}のファラデーの法則と\eqref{anmaxin}のアンペール-マクスウェルの法則は，微分形にストークスの定理を用いて導出します。まずはファラデーの法則の積分形から導出していきます。ファラデーの法則の微分形$\mathrm{rot}\,\boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} $について両辺面積分すると
$$\int_{S} \mathrm{rot}\,\boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = -\int_{S} \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S}$$
ここでストークスの定理$\int_S (\operatorname{rot}\boldsymbol{A}) \cdot d\boldsymbol{S} = \oint_C \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{r} $より
$$\oint_{C} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{r} = -\int_{S} \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S}$$
となりファラデーの法則の積分系が導出できました。同様にしてアンペール-マクスウェルの法則の微分形$\mathrm{rot}\,\boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} $について両辺面積分しストークスの定理を用いることで
$$\oint_{C} \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_{S} \left( \boldsymbol{j} + \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol{S} $$
となりアンペール-マクスウェルの法則の積分形が導出できます。
\eqref{maggaussin}の磁気に関するガウスの法則と\eqref{gaussin}のガウスの法則は，微分形にガウスの発散定理を用いて導出します。まずは磁気に関するガウスの法則から導出していきます。磁気に関するガウスの法則の微分形$\mathrm{div}\,\boldsymbol{B}=0 $について両辺体積分すると
$$\int_V (\operatorname{div} \boldsymbol{B}) \, dV = 0$$
ここでガウスの発散定理$\int_V (\operatorname{div}\boldsymbol{A}) \, dV = \oint_S \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{S} $より
$$\oint_S \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S} = 0$$
となり磁気に関するガウスの法則の積分形が導出できました。同様にしてガウスの法則の微分形$\mathrm{div}\,\boldsymbol{D}=\rho \tag{1.10}$について両辺体積分しガウスの発散定理を用いることで
$$\oint_{S} \boldsymbol{D} \cdot d\boldsymbol{S} = \int_{V} \rho \, dV$$
となりガウスの法則の積分形が導出できます。これでマクスウェル方程式の積分形がすべて導出されました。
マクスウェル方程式の積分形より異なる物質間での$\boldsymbol{E},\boldsymbol{H},\boldsymbol{D},\boldsymbol{B}$の境界条件を導出することができます。
・境界面に対して接線成分の$\boldsymbol{E},\boldsymbol{H}$は連続
$$E_{1t} =E_{2t}$$
$$H_{1t} =H_{2t}$$
・境界面に対して法線成分の$\boldsymbol{B},\boldsymbol{D}$は連続
$$B_{1n} =B_{2n}$$
$$D_{1n} =D_{2n}$$
まず境界面に対して接線成分の$\boldsymbol{E}$が連続なことを示していきます。異なる物質1と2の間の境界面に対して図のように閉曲線をとります。
ここでファラデーの法則の積分形$\oint_{C} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{r} = -\int_{S} \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S}$を用います。hが微小の時電場の境界線に垂直な部分は無視できるため，電場の境界面対して接線成分を$E_{1t}$,$E_{2t}$として，物質1を通る方向を正とすると左辺は
$$\oint_{C} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{r}=E_{1t} \cdot l+E_{2t} \cdot (-l)$$
右辺については
\begin{eqnarray} -\int_{S} \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S}& &=-\int_{S} \frac{\partial B_n}{\partial t}ds\\& &=-\frac{\partial B_n}{\partial t}\int_{S}ds\\& &=-\frac{\partial B_n}{\partial t}lh\end{eqnarray}
ここで$\boldsymbol{B}$の$n$成分を$\frac{\partial B_n}{\partial t}$とし，$\frac{\partial B_n}{\partial t}$は長方形の内部でほぼ一定とみなして積分の外に出しました。以上より
$$E_{1t} \cdot l+E_{2t} \cdot (-l)=-\frac{\partial B_n}{\partial t}lh$$
よって$h \to 0$とすることで
$$E_{1t} =E_{2t}$$
となり接線成分の$\boldsymbol{E}$が連続なことが示されました。
全く同様にして接線成分の$\boldsymbol{H}$が連続なことを示していきます。アンペール-マクスウェルの法則の積分形$\oint_{C} \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_{S} \left( \boldsymbol{j} + \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol{S}$より
$$H_{1t} \cdot l+H_{2t} \cdot (-l)=(\boldsymbol{j} + \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t})lh$$
よって$h \to 0$とすることで
$$H_{1t} =H_{2t}$$
となり接線成分の$\boldsymbol{H}$が連続なことが示されました。
次に境界面に対して法線成分の$\boldsymbol{B}$が連続なことを示していきます。異なる物質1と2の間の境界面を挟む円筒閉曲面をとります。
ここで磁気に関するガウスの法則の法則の積分形$\oint_{S} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S} = 0$を用います。物質1を通る方向を正とすると
$$B_{1n} \cdot dS+B_{2n} \cdot (-dS)=0$$
ここで$dS\neq 0$より
$$B_{1n} =B_{2n}$$
となり法線成分の$\boldsymbol{B}$が連続なことが示されました。
全く同様にして法線成分の$\boldsymbol{D}$が連続なことを示していきます。ガウスの法則の積分形$\oint_{S} \boldsymbol{D} \cdot d\boldsymbol{S} = \int_{V} \rho \, dV $において面電荷密度を$\sigma$とすると
$$D_{1n} \cdot dS+D_{2n} \cdot (-dS)=\sigma\cdot hdS$$
よって$h \to 0$とすることで$dS\neq 0$より
$$D_{1n} =D_{2n}$$
となり法線成分の$\boldsymbol{D}$が連続なことが示されました。
まとめ
今回の記事では電磁気学における基本体系について解説しました。院試電磁気学における最重要事項であるため，少なくともこの章だけは完璧にしてください。2章からはマクスウェル方程式から様々な具体問題を考えていきます。
