今回の記事では静電場について解説していきます。
2.1 クーロンの法則と重ね合わせの原理
2章~4章では電荷や電場の状態が時間変化しない静電場という状況について取り扱っていきます。静電場においては$\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}=\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{j}=\boldsymbol{0}$であり，1.3節で示したマクスウェル方程式の微分形にこれらを適用すると、電場と磁場は完全に独立し静電場が満たすべき基礎方程式は以下の2式に集約されます。
$$\mathrm{rot}\,\boldsymbol{E}=\boldsymbol{0}\tag{2.1}\label{fasta}$$
$$\mathrm{div}\,\boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon} \tag{2.2}\label{gausssta}$$
ただし$\boldsymbol{D} = \varepsilon \boldsymbol{E}$(1.11)により$\boldsymbol{E}$に統一しました。
これら2式より1個の点電荷が作る電場$\boldsymbol{E}$を求めるクーロンの法則というものが導出できます(導出は省略します)。位置 $\boldsymbol{r}’$ に存在する点電荷 $q$ が、観測点 $\boldsymbol{r}$ に作る電場は次式で表されます。
$$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’}{\left|\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’\right|^3}\tag{2.3}\label{Cou}$$
複数の電荷が存在する空間の電場は、各電荷が単独で作る電場のベクトル和（重ね合わせの原理）として与えられます。位置 $\boldsymbol{r}_i$ に点電荷 $q_i$（$i = 1, 2, \dots, N$）が存在するとき、観測点 $\boldsymbol{r}$ の電場は次式で表されます。
$$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{i=1}^{N} q_i \dfrac{\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}_i}{\left\vert{}\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}_i\right\vert{}^3}\tag{2.4}$$
電荷が(体積)電荷密度$ \rho(\boldsymbol{r}’)$で連続的に分布しているとき位置 $\boldsymbol{r}’$ の微小体積 $dV’$ にある微小電荷 $dq’ = \rho(\boldsymbol{r}’) \, d V’$ の寄与を全空間で積分（重ね合わせ）します。
$$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \dfrac{\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’}{\left\vert{}\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’\right\vert{}^3} \, \rho(\boldsymbol{r}’) \, d V’\tag{2.5}$$
2.2 ガウスの法則
クーロンの法則によりどんな系においても電荷分布が決まれば電場を求めることができますが，系に対称性があるときはガウスの法則の積分形を用いたほうが圧倒的に早いです 。1.4でガウスの法則の積分形は導出しましたが，使用頻度が高いため暗記しておくことをおすすめします。
$$\oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}\tag{2.6}\label{gau}$$
ここで$Q_{\text{enc}}$は閉曲面内の全電荷量を表します。電荷が連続的に分布している場合には
$$\oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V \rho(\boldsymbol{r}) \,dV\tag{2.7}$$
となります。
2.3 静電ポテンシャル(電位)
2.1節で示した$\mathrm{rot}\,\boldsymbol{E}=\boldsymbol{0}$ \eqref{fasta}より、ベクトル解析の恒等式 $\mathrm{rot}\,\mathrm{grad}\,f=\boldsymbol{0}$(1.6) を満たすスカラー場 $\phi(\boldsymbol{r})$ が存在します。これを用いて静電場 $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})$ を次のように定義します。
$$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = -\mathrm{grad} \,\phi(\boldsymbol{r})\tag{2.8}\label{po}$$
このスカラー関数 $\phi(\boldsymbol{r})$ を静電ポテンシャル（電位）と呼びます（マイナス符号は、電位が高い方から低い方へ向かって電場が生じるようにするための慣習です）。\eqref{po}に勾配定理$\int_{a}^{b} (\operatorname{grad}f)\cdot d\boldsymbol{r} =f(b)-f(a)$(1.2)を用いることで電位差$V$を導出できます。
$$V=\phi(\boldsymbol{r}) – \phi(\boldsymbol{r}_0) = -\int_{\boldsymbol{r}_0}^{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) \cdot d\boldsymbol{r’}\tag{2.9}\label{V}$$
$V=\phi(\boldsymbol{r}) – \phi(\boldsymbol{r}_0)$を電位差，$\boldsymbol{r}_0$を基準点と呼びます。
導出過程を示しておきます。まず\eqref{po}の両辺に基準点 $\boldsymbol{r}_0$ から任意の位置 $\boldsymbol{r}$ までの任意の経路 $C$ に沿った線積分を行うと、
$$\int_{\boldsymbol{r}_0}^{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}’) \cdot d\boldsymbol{r}’ = -\int_{\boldsymbol{r}_0}^{\boldsymbol{r}} \mathrm{grad} \,\phi(\boldsymbol{r}’) \cdot d\boldsymbol{r}’$$
となります（積分変数と終点を区別するため、積分内の変数を $\boldsymbol{r}’$ としています）。ここで、右辺に勾配定理を適用すると、
$$\int_{\boldsymbol{r}_0}^{\boldsymbol{r}}\mathrm{grad} \,\phi(\boldsymbol{r}’) \cdot d\boldsymbol{r}’ = \phi(\boldsymbol{r}) – \phi(\boldsymbol{r}_0)$$
であるから、これらを整理することで電位差が得られます。
$$\phi(\boldsymbol{r}) – \phi(\boldsymbol{r}_0) = -\int_{\boldsymbol{r}_0}^{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}’) \cdot d\boldsymbol{r}’$$
基準点を無限遠($\boldsymbol{r}_0 \to \infty$)とし，無限遠での静電ポテンシャルを0とすることで位置 $\boldsymbol{r}$ における静電ポテンシャルが確定します。
$$\phi(\boldsymbol{r}) = -\int_{\infty}^{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}’) \cdot d\boldsymbol{r}’\tag{2.10}$$
点電荷が作る静電ポテンシャルは以下の式であたえられます。使用頻度が高いためこの式自体も暗記してくことをおすすめします。
$$\phi(\boldsymbol{r}) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{1}{\left|\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’\right|}\tag{2.11}$$
導出過程を示しておきます。点電荷が作る電場は\eqref{Cou}より
$$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’}{\left|\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’\right|^3}$$
ここで距離のべき乗の勾配公式という，覚えておくととても便利な公式を用います。
$$\mathrm{grad} \,(r^n)=nr^{n-2}\boldsymbol{r}\tag{2.12}$$
この公式に$n=-1$を代入することで
$$\mathrm{grad} \left( \dfrac{1}{r} \right) = -\dfrac{\boldsymbol{r}}{r^3}$$
これより$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})$は
\begin{eqnarray}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})& &=-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\mathrm{grad} \, \left( \dfrac{1}{\left|\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’\right|} \right)\\& &=-\mathrm{grad} \, \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{1}{\left|\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’\right|}\right) \end{eqnarray}
ここで静電ポテンシャルの定義$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = -\mathrm{grad} \,\phi(\boldsymbol{r})$\eqref{po}の式と比較することで
$$\phi(\boldsymbol{r}) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{1}{\left|\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’\right|}$$
となり点電荷が作る静電ポテンシャルが導出できました。電場と同様，静電ポテンシャルにも重ね合わせの原理が成り立つため，「複数の点電荷における静電ポテンシャル」と「連続的な電荷分布における静電ポテンシャル」は
$$\phi(\boldsymbol{r}) = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{i=1}^{N} \dfrac{q_i}{\left\vert{}\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}_i\right\vert{}}\tag{2.13}$$
$$\phi(\boldsymbol{r}) = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \dfrac{\rho(\boldsymbol{r}’)}{\left\vert{}\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’\right\vert{}} \, d^3 r’\tag{2.14}$$
2.4 静電場における導体の性質
金属などの導体の内部には自由に動き回れる電荷が大量にあります。この自由電荷の移動によって導体はよく電気を通します。静電場中にある導体は，時間がたつと電荷が完全に静止した静電平衡と呼ばれる平衡状態になり，以下のような性質を満たします。
・導体内部で電場$\boldsymbol{E}$は0
・導体内部の静電ポテンシャルは一定
・すべての電荷が導体表面に分布する
・導体表面近くの電場$\boldsymbol{E}$は導体表面に垂直
静電平衡の原理を示しておきます。外電場$\boldsymbol{E}_1$の中に導体をおくと，図のように外電場を打ち消すような電場$\boldsymbol{E}_2$を作るために電荷が移動し，導体内部の電場は$0$となります。
よって\eqref{V}により導体内部での静電ポテンシャルは一定となります。また，この電荷の移動によりすべての電荷は導体表面に移動します。また，もし導体表面の電場において接線成分が残っていたら，それを打ち消すために電荷が移動してしまうので，電荷が完全に静止した状態である静電平衡において，導体表面近くの電場は導体表面に垂直なことがわかります。以下の図で静電平衡になっている導体をわかりやすく表しました。
2.5 コンデンサー
2つの導体を向かい合わせて配置し、起電力$V$の電池につなぐと陽極から一方の導体に正電荷$Q$が，陰極からもう一方の導体に負電荷$-Q$が蓄えられます。一般に$Q$は$V$に比例し以下の関係が成り立ちます。
$$Q=CV \tag{2.15}\label{con}$$
この比例定数$C$を静電容量といいます。
静電容量が$C_1$,$C_2$のコンデンサーをつないだ時の合成容量$C$は以下のようになります。
・直列接続
$$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2} \tag{2.16}\label{se}$$
・並列接続
$$C=C_1+C_2 \tag{2.17}\label{pa}$$
導出過程を示しておきます。まずは\eqref{se}を示します。それぞれのコンデンサーの電荷を$Q_1$,$Q_2$，電圧を$V_1$,$V_2$とすると以下のような図になります。
図より
$$Q_1=C_1 V_1, \,\,\,\, Q_2=C_2 V_2$$
$$V=V_1 + V_2$$
ここで，それぞれのコンデンサーの，電池につながってないほうの極板は孤立しているため，電荷は保存し
$$Q=Q_1 =Q_2$$
以上の三式より
$$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2} $$
となります。
次に\eqref{pa}を示します。
並列接続において$V=V_1 =V_2$のため図のようになり
$$Q_1=C_1 V, \,\,\,\, Q_2=C_2 V$$
ここで，全体を1つのコンデンサーとみることで
$$Q=Q_1 +Q_2$$
以上の三式より
$$C=C_1+C_2 $$
となります。
コンデンサーにはさまざまなものがありますが，平行板コンデンサーの静電容量はよく用いるため暗記しておくことをおすすめします。
この平行板コンデンサーについて$l$は十分小さいとしたとき，平行板コンデンサーの静電容量は以下のようになります。
$$C=\varepsilon_0 \frac{S}{l}\tag{2.18}\label{c}$$
導出過程を示しておきます。まずこのコンデンサーにおいて極板の間隔が十分狭いため，極板の端での電場の乱れ（端効果）を無視して無限に広い平面とみなします。上の極板に$+Q$，下の極板に$-Q$の電荷を与えます。ここでガウスの法則の積分形$\oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$\eqref{gau}を用います。まず上の極板に対して図のような円柱閉曲面をとります。
閉曲面内の電荷は$Q\cdot \frac{S’}{S}$です。閉曲面内の電荷が正なので電場$E_+$の向きは図のようになります。ガウスの法則より
$$E_+ \cdot 2S’=\frac{Q\cdot \frac{S’}{S}}{\varepsilon_0}$$
$$\therefore E_+=\frac{Q}{2\varepsilon_0 S}$$
よって電場の大きさが求まりました。次に下の極板に対して図のような円柱閉曲面をとります。
閉曲面内の電荷は$-Q\cdot \frac{S’}{S}$です。閉曲面内の電荷が正なので電場$E_-$の向きは図のようになります。ガウスの法則を用いますが，$E_-$の向きとdSの向きが逆向きなことに注意します。
$$-E_- \cdot 2S’=\frac{-Q\cdot \frac{S’}{S}}{\varepsilon_0}$$
$$\therefore E_-=\frac{Q}{2\varepsilon_0 S}$$
以上の結果を合わせるとコンデンサー内のみ電場が残り，その電場Eは
$$E=\frac{Q}{\varepsilon_0 S}$$
となり，向きは上から下に向かう向きです。よって電位差$V$は\eqref{V}より
\begin{eqnarray}V & &= -\int_0^l \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{r}’ \\& &= \int_0^l E dr’ \\& &= \int_0^l \frac{Q}{\varepsilon_0 S} dr’ \\& &= \frac{Ql}{\varepsilon_0 S}\end{eqnarray}
よって\eqref{con}より
\begin{eqnarray}C& &=\frac{Q}{V}\\& &=\varepsilon_0 \frac{S}{l}\end{eqnarray}
まとめ
今回の記事では静電場の基礎について解説しました。院試に頻出の境界値問題の基礎となる超重要内容なので導出含め完璧にできるようにしましょう。3章ではいよいよ静電場の境界値問題について考えてきます。
